- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
3. На крыло самолета действует сплошная нагрузка, пр веденная вдоль оси крыла к трапеции с наибольшей интен сивностью дА= 300 кгм и наименьшей —дв —100 кгм, и вес
Фиг. 8.7. Определить реакции |
от |
|
|
|
|
|
|||
|
силы Р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
агрегата |
Раг = 360 кг |
(фиг. |
8.9). Определить вертикальное |
||||||
давление |
А и момент МА, передаваемые на фюзеляж. |
МА~ |
|||||||
|
|
|
|
Ответ: Л = 820 |
кг, |
||||
|
|
|
|
= 1854 кгм. |
|
|
реа |
||
|
|
|
|
4. |
Найти опорные |
||||
|
|
|
|
ции |
консольной |
балки |
от |
||
|
|
|
|
|
’-jMc |
|
|
Р |
|
|
|
|
|
І |
Вμ ' |
|
|||
|
|
|
|
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
σ=0£ |
|
|
|
|
|
|
|
——1 =3м — |
|
|
|
|
Фиг. 8. 9. Вычислить силы, |
передаваемые |
Фиг. |
8. 10. Найти реакции. |
|
|||||
|
на фюзеляж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
нагрузки |
сосредоточенным |
моментом |
Λίσ = 240 кгм |
и |
силой |
||||
Р=400 кг |
(фиг. 8 . 10). Ответ: Л= 0; β=400 кг. |
|
|
|
|||||
|
§ 3. |
Поперечная сила и изгибающий момент |
|
|
|
||||
Пусть дана |
балка, для которой известны все внешние силы, |
||||||||
в том числе и опорные реакции (фиг. |
8 . 11,а). Под |
действием |
этих сил она находится в равновесии. Следовательно, сумма про екций всех сил на вертикальную ось и сумма моментов относи тельно какой-нибудь оси, перпендикулярной плоскости нагрузки, например, проходящей через точку, где приложена сила Ра, бу дут равны нулю:
Σ Κ = Ρ 1 + Ρ2- Ρ 3 -1- Ρ 4 = 1 + 2 - 7 ,5 + 4,5 = 0; ѴЛ1= Р15 + Р22— Ρ42 = 1·5 + 2-2 — 4,5-2 = 0.
Сумма проекций на горизонтальную ось при любой верти кальной нагрузке всегда равна нулю. Разрежем балку на две
части произвольно выбранным сечением тт, перпендикулярным ее оси, и отбросим одну ее часть, например, левую (фиг. 8 . 1 1 ,6 ). Чтобы уравновесить правую часть, необходимо заменить дей ствие отброшенной части соответствующими усилиями, прило женными в сечении. Этими усилиями будут, во-первых, так на зываемая поперечная сила Q, равная сумме вертикальных проек ций всех сил, приложенных к левой части балки (в данном слу чае, когда силы вертикальны, сумма проекций сил превращается в сумму сил):
<2=РХ+РЯ= 1 + 2 = 3 т.
Во-вторых, так называемый изгибающий момент М, равный сумме моментов всех сил, приложенных к левой части балки и
Фиг. 8.11. Поперечная сила и изгибающий момент.
а — балка нагружена уравновешенной нагрузкой; б — схема равно весия правой части; в — равновесие левой части; г — действие левой и правой отброшенных частей на выделенный из балки короткий элемент.
взятых относительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости нагрузки,
M =P1x1+Ptxs= 1 · 4+2 · 1=6 тм.
Величины Q и М заменяют собой действие левых сил на правую оставшуюся часть балки. Другими словами, поперечная сила в данном сечении является проекцией на нормаль к оси балки системы сил, заменяющих действие отброшенной части на остающуюся, а момент этой системы сил относительно цен тральной оси поперечного сечения является изгибающим момен том в данном сечении. При этом неважно, какая часть балки бу дет отброшена, левая или правая: усилия Q и М уравновешивают нагрузку, приложенную к той части, на которую они действуют. В самом деле, заменим в сечении mm действие левой части уси лиями Q и М (фиг. 8 . 11,6) и составим сумму проекций всех сил
217
правой части на вертикаль и сумму моментов относительно цен тральной оси поперечного сечения тт:
1)Q—P*+Рі = 3—7,5+4,5=0;
2)M + Paxs—Р4х4= 6 + 7,5 · 1—4,5 · 3= 0.
Условия равновесия правой части балки удовлетворяются. Из первого уравнения следует, что поперечная сила Q в данном сечении равна сумме проекций правых сил, взятых со знаком, обратным знаку левых сил, Q =P 3—Р4. Если при подсчете по перечной силы слева нагрузка, направленная вверх, входит со знаком плюс, то при подсчете справа такая нагрузка входит со знаком минус. То же можно сказать и об изгибающем моменте М.
|
|
Из |
второго |
уравнения |
|
|
|
М = —РзХ3+РіХі, |
|
|
|
он равен сумме моментов правых |
||
|
|
сил, взятых со знаком, обратным |
||
+М |
- м |
знаку моментов левых сил. |
||
|
|
Если отбросить правую часть |
||
СѲ) СѲ) |
||||
|
|
балки |
(фиг. |
8. 1 1 ,в , то действие |
|
|
сил, приложенных к ней, на остав |
||
Фиг. 8.12. Правило знаков для |
шуюся левую часть нужно заме |
|||
поперечных сил и изгибающих |
нить в сечении тт теми же уси |
|||
моментов. |
|
лиями Q и М, которые действуют |
||
на правую часть |
(фиг. 8 . 1 1 ,6 ), но |
направленными противопо |
||
ложно. В каждом |
поперечном |
разрезе поперечная сила состоит |
из двух равных и противоположных сил, а изгибающий мо мент — из двух равных и противоположных моментов, действую щих одновременно на торцевые сечения по обе стороны от раз реза (фиг. 8 . 1 1 , 6 и в).
Это иллюстрируется также равновесием тонкого поперечного слоя (фиг. 8. 11,г), вырезанного из балки. Действие отброшен ных левой и правой частей заменяется в обоих торцевых сече ниях поперечными силами и изгибающими моментами, направ ленными навстречу друг другу.
П р а в и л о з н а к о в . Условимся считать положительной по перечную силу, если она действует на правую часть вверх, а на левую — вниз (фиг. 8 . 12). Поперечную силу противоположного направления будем считать отрицательной. Точно так же изги бающий момент условимся считать положительным, если он дей ствует на правую часть по часовой стрелке, а на левую — против часовой стрелки (фиг. 8. 12). При наличии поперечной силы одно поперечное сечение стремится сдвинуться по вертикали относи тельно другого. При положительной поперечной силе сечение слева стремится сдвинуться вверх, а сечение справа — вниз, и весь элемент, выделенный этими сечениями, как бы стремится повернуться по часовой стрелке (фиг. 8 . 11,г). Сдвигу соответ ствуют касательные напряжения т; они тем больше, чем больше поперечная сила Q. При действии изгибающего момента смеж-
218
ные сечения стремятся повернуться одно относительно другого. При положительном изгибающем моменте в верхних волокнах возникает сжатие, а в нижних — растяжение, и балка изгибается выпуклостью вниз (фиг. 8. 1 2 ). При этом в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения а , величина которых зависит от величины изгибающего момента М.
Все внешние силы, перпендикулярные оси балки и лежащие с одной стороны от какого-нибудь сечения, всегда можно заме нить двумя величинами в данном сечении — поперечной силой Q и изгибающим моментом М. Нужно уметь их вычислять в любом сечении и от любой нагрузки. При вычислении исходят из уста новленного выше положения, что поперечная сила в данном се чении равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, расположенных по одну сторону от сечения, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси сечения всех сил, расположенных по одну сторону от него.
§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Перерезывающая сила Q и изгибающий момент М, а следо вательно, и напряжения т и σ изменяются при переходе от одно го сечения к другому, так как при этом может изменяться и ко личество сил, расположенных с одной стороны, и их расстояния до рассматриваемого сечения.
β тех случаях, для которых Q или М равны нулю, касатель ные или соответственно нормальные напряжения будут отсут ствовать. Наоборот, в сечениях, где Q или Л4 имеют наибольшую величину, соответствующие им напряжения будут также наи большими (подразумевается брус постоянного сечения). Таким образом определение опасных сечений сводится к определению сечений с максимальными значениями усилий Q и М. Чтобы найти опасные сечения, необходимо знать, как изменяются Q и М от сечения к сечению по длине балки. Для этого служат так называемые эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Если в каждом сечении отложить перпендикулярно оси балки отрезки, изображающие в каком-нибудь произвольно выбранном масштабе величины поперечных сил или изгибающих моментов в этих сечениях, то получим график или эпюру Q или соответ ственно эпюру М, которые и показывают изменение этих величин по длине балки. Умение строить эпюры Q и М важно не только для определения опасных сечений и вычисления наибольших на пряжений. Это важно и для определения деформаций балки. Построение эпюр обычно производится отдельно на оси, прове денной параллельно оси балки. Положительные ординаты эпюр, т. е. отрезки, равные положительным величинам Q или М, откла дываются от этой оси вверх, в положительную сторону оси у, согласно принятому в балке направлению осей (фиг. 8.5). При
219