Формулы пишутся в следующем виде:

					еі=“		[°і — Р(°2 + 0·)];
					=		—Η·(σι + ο3)];
					еа= -^г [«*— I* (®і Η"аі)1.
	Задачи.			1. Проверить			по формулам (8) напряжения а„ и х„
	найденные графически в примере 1 (фиг. 4.12).
	2.		Из цилиндрического					со­
	суда выделен элемент, на ко­
	торый		действуют		главные
	напряжения			800	кг/см2 и
	400 кг/см* (фиг. 4.16).					Графи­
	чески	и	аналитически			найти
	напряжения			о* и τ„ на площад­
	ке пі.	Найти также xmsi и наи­
	большее		относительное				удли­
	нение.
	Е = 2· ІО6			кг/см2;	μ= 0,3.
	Ответ·.							Фиг. 4.16. К примеру определения
	σ„ = 700 кг/см2, X* =				173 кг/смs;
								напряжений и деформаций плоского
	хШ1Х= 400 кг/см2; ε= 0,00034.							напряженного состояния.
						г
				§ 4.	Понятие о теориях прочности

При установлении условия прочности и выборе коэффициента запаса (§ 1 и 4 предыдущей главы) в основу критерия прочности было положено наибольшее нормальное напряжение, при кото­ ром происходит разрушение; допускаемое напряжение опреде­ лялось как предел прочности, деленный на коэффициент запаса:

К оценке прочности можно подойти и с других точек зрения. Например, можно положить в основу оценки не наибольшие нормальные напряжения, а наибольшие деформации и считать, что разрушение наступает в тот момент, когда деформация до­ стигает предельного значения.

Обозначим предельное значение относительного удлинения через επ4. Тогда допускаемое относительное удлинение [е] должно составлять некоторую часть от επ4:

w = т ·

8 Основы строительной механики

113

Здесь п попрежнему означает коэффициент запаса прочности и зависит от факторов, перечисленных выше (глава III, § 4). Связь между допускаемым удлинением и допускаемым напря­ жением при растяжении имеет вид

так как [в] и [о] всегда находятся в пределах пропорциональ­ ности.

Но не только наибольшие нормальные напряжения или наи­ большие деформации можно считать причиной, вызывающей разрушение материала. Известно, что даже при простом растя­ жении или сжатии наряду с нормальными напряжениями суще­ ствуют и касательные, которые достигают максимального зна­ чения на площадках, наклоненных под углом 45° к оси стержня

и равных Ттаі=-у-. Можно принять касательные напряжения за

критерий прочности, тем более что при растяжении или сжатии происходят сдвиги по наклонным площадкам (фиг. 3. 11). В этом случае к прочной конструкции нужно предъявить требование, чтобы наибольшие касательные напряжения в ней не превосхо­ дили некоторой допускаемой величины

М = ѵ ·

Принимая во внимание, что тшах = -^-, зависимость между

нормальными и касательными допускаемыми напряжениями будем иметь в виде

При простом растяжении или сжатии все перечисленные взгляды приводят к одинаковым результатам, потому что все ве­ личины, определяющие прочность, находятся из опыта. Но при сложном напряженном состоянии невозможно поставить опыты, охватывающие все многообразие комбинаций действия сил. В этом случае расчет основывают на той или иной теории прочности. Теорией прочности называется предположение (гипотеза), кото­ рое берется как основная предпосылка при суждении о проч­ ности материала. Цель теорий прочности заключается в том, что­ бы, исходя из опытов на простое растяжение или сжатие, полу­ чить возможность судить о прочности материала, находящегося в сложном напряженном состоянии.

П е р в а я т е о р и я п р о ч н о с т и — теория наибольших нормальных напряжений. По этой теории предполагается, что прочность материала определяется его способностью сопротив­ ляться нормальным напряжениям, следовательно, не зависит от

114

сложности напряженного состояния. Прочность будет гарантиро­ вана, если в любом напряженном состоянии наибольшее по аб­ солютному значению нормальное напряжение не превосходит допускаемого при простом растяжении или сжатии. Это наиболь­ шее напряжение, по которому производится расчет прочности, обозначим через орасч. Тогда условие прочности по первой теории принимает вид

°расч [®]раст ИЛИ Oj,ac4 ° 3 '^ [ ° ] с ж ·

Результаты первой теории во многих случаях резко расхо­ дятся с опытными данными. Ею можно пользоваться только при расчете деталей из хрупких материалов.

В т о р а я т е о р и я п р о ч н о с т и — теория наибольших от­ носительных удлинений. Эта теория основана на предположении, что основным фактором, обусловливающим прочность, является способность материала сопротивляться относительным удлине­ ниям. По второй теории прочность детали, находящейся в любом напряженном состоянии, будет обеспечена, если ни в одной точке детали наибольшие относительные удлинения не выйдут за пре­ делы допускаемого удлинения [е], установленного при простом растяжении. Обозначая наибольшее по абсолютной величине от­

носительное удлинение через	получаем условие прочности по
второй теории	ві<[е].

Нетрудно это условие выразить в зависимости от главных напряжений. В случае плоского напряженного состояния по формуле (12)

ει — ^ [®1 ~ I1(°2 + °з)]·

Учитывая, что [ε] = — , из условия прочности после сокра-

щения на Е получаем		Е		по второй тео­
		расчетное напряжение
рии прочности
	°расч — ®1 — Н· (°2 +		°з) - ^ [*]·
Здесь	величина о , — μ ( σ 2+ σ 3)		обозначена	как некоторое
условное	напряжение	Орасч, по которому производится расчет

прочности.

Вторая теория в конце прошлого столетия и в начале теку­ щего широко применялась в инженерной практике. И до сих пор ею продолжают пользоваться в машиностроении. Вторая теория может применяться в тех же случаях, что и первая и, так же как и первая, противоречит некоторым опытным данным.

Т р е т ь я т е о р и я	п р о ч н о с т и — теория наибольших ка­
сательных напряжений.	По этой теории прочность материала

определяется его способностью сопротивляться касательным на­ пряжениям. Прочность считается гарантированной, если наиболь­

шее касательное напряжение	тшах для детали, находящейся в
8*	115

сложном напряженном состоянии, не превосходит допускаемого напряжения при простом растяжении или сжатии:

	Tmax^fT].
Принимая во внимание, что		ттах=	gj, а допускаемое ка-
сательное напряжение		2[ i		М	получаем рас­
	при растяжении [xj =
четное напряжение по	третьей	теории	прочности:

а расЧ = 0 1 - - 03 < М ·

Третья теория достаточно хорошо согласуется с опытами и особенно пригодна для пластических материалов.

Н о в ы е т е о р и и п р о ч н о с т и — энергетические. Недо­ статки первых трех теорий прочности и новые опытные данные заставили ученых продолжать поиски причин, обусловливающих разрушение материалов под действием сил. За последние годы появился ряд теорий прочности, которые связывают прочность материалов с их способностью поглощать работу, которую про­ изводит внешняя нагрузка при деформации тела.

Всякий элемент в теле, испытывающем сложное напряженное состояние, изменяется по объему и претерпевает изменение фор­ мы; например, малый прямоугольный параллелепипед становится не только больше или меньше по объему, но из прямоугольного превращается в косоугольный. Оказывается, что энергия, идущая на изменение объема, не влияет существенно на прочность ма­ териала. Прочность зависит главным образом от той работы, которая расходуется на изменение формы элемента.

Расчетное напряжение по теории прочности ( ч е т в е р т о й ) , исходящей из величины работы, затрачиваемой на изменение фор­ мы тела, определяется по формуле

°расч = V + °2 + ° 3 — σ ΐ σ » — α5 σ3 — σ3 °1 < [«] ·

Эта теория пригодна для пластических материалов *.

Пример 1. Рассмотрим пример поверки прочности. Выше в примере 1 в § 2 и примере 3 в § 3 были найдены главные нор­ мальные напряжения в стенке цилиндра авиадвигателя. Пусть требуется произвести поверку прочности цилиндра по третьей тео­ рии прочности. Допускаемое напряжение дано: [σ] = 600 кг/см'2.

Возьмем точку внутри стенки цилиндра, где расчетное на­ пряжение по третьей теории прочности орас^Оі—σ3 имеет наи­ большее значение. Сравним две точки: 1) вблизи внутренней поверхности цилиндра и 2) вблизи наружной его поверхности.1

1 Строго говоря, выбор теории прочности зависит не только от свойств ма­ териала, но и от характера напряженного состояния. Однако в большинстве практических случаев вполне достаточно выбор теории прочности произво­ дить исходя из свойств материала.

116

Для элемента у внутренней поверхности цилиндра (фиг. 4. 15) имеем

Орасч О1 Оз= 464 + 42= 506 кг/см*.

Для элемента у внешней поверхности цилиндра получим Орасч=а1— 03 = 464—0= 464 кг/смя.

Таким образом опасной точкой согласно третьей теории проч­ ности является точка на внутренней поверхности цилиндра, где имеет место наибольшее расчетное напряжение 506 кг/см2. Срав­ нивая его с допускаемым, устанавливаем, что

Орасч

[0 ]>

т. е. прочность цилиндра достаточна и даже с излишним запасом на 15,6°/о.

Контрольные вопросы

1.Какое сечение называется наклонным и чем определяет­ ся его положение?

2.Какие напряжения возникают в наклонном сечении растя­

нутого стержня и по каким уравнениям они вычисляются?

3.В каких сечениях растянутого стержня действуют наиболь­ шие по величине нормальные и касательные напряжения?

4.В чем состоит закон парности касательных напряжений?

5.Какие напряжения возникают в поперечных и диаметраль­

ных сечениях тонкостенного цилиндра при нагружении его внут­ ренним давлением?

6.Почему разрушение воздушных баллонов происходит по диаметральному сечению?

7.Какое напряженное состояние называется плоским?

8.Какие сечения (площадки) называются главными?

9.Какие напряжения называются главными?

10.Какими свойствами обладают главные напряжения?

11.В каких площадках действуют наибольшие касательные напряжения при плоском напряженном состоянии и как они вы­ ражаются через главные напряжения?

12.Как вычисляются относительные удлинения при растяже­ нии или сжатии в двух взаимно перпендикулярных направле­ ниях?

13.Как определяется наибольшее касательное напряжение при объемном напряженном состоянии?

14.Какова цель разработки теории прочности?

15.В каком случае можно пользоваться первой теорией проч­ ности?

16.Какие гипотезы положены в основу каждой теории проч­ ности?

17.Как производится поверка прочности по третьей теории?