- •Предисловие
- •Основные обозначения
- •Латинский и греческий алфавиты
- •§ 1. Содержание предмета
- •§ 2. Графики
- •§ 3. Сведения из тригонометрии
- •§ 4. Изображение в проекциях
- •§ 5. Сложение сил. Центр тяжести
- •§ 6. Равновесие тел
- •§ 7. Реакции опор
- •§ 8. Метод сечений
- •§ 1. Примеры плоских ферм
- •§ 2. Образование простейших ферм
- •§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы
- •§ 4. Определение усилий в прикрепляющих стержнях
- •§ 5. Определение усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов
- •§ 6. Способ сквозных сечений
- •§ 7. Графические способы определения усилий в стержнях ферм
- •§ 1. Нормальные напряжения
- •§ 2. Деформация призматического стержня
- •§ 3. Диаграмма растяжения
- •§ 4. Выбор допускаемого напряжения
- •§ 5. Простейшие статически неопределимые задачи
- •§ 6. Расчет по разрушающим нагрузкам
- •§ 1. Напряжения в наклонных сечениях
- •§ 2. Расчет цилиндрического сосуда
- •§ 3. Исследование плоского напряженного состояния
- •§ 4. Понятие о теориях прочности
- •§ 1. Деформации и напряжения при сдвиге
- •§ 2. Расчет болтового соединения
- •§ 3. Заклепочные соединения
- •§ 4. Сросток Шухова
- •§ 5. Сварные соединения
- •§ 1. Экспериментальные данные и предпосылки
- •§ 2. Зависимость между напряжением и деформацией
- •§ 3. Относительный угол закручивания
- •§ 4. Напряжения при кручении
- •§ 5. Вычисление сумм
- •§ 6. Полярный момент инерции
- •§ 7. Расчет на прочность
- •§ 9. Расчет на жесткость
- •§ 10. Кручение за пределом пропорциональности
- •§ 1. Прямоугольное сечение
- •§ 2. Напряжения и угол закручивания открытого профиля
- •§ 3. Напряжения в замкнутом профиле
- •§ 4. Деформация тонкостенного стержня
- •§ 5. Многоконтурный профиль
- •§ 1. Явление изгиба
- •§ 2. Нагрузки и реакции
- •§ 3. Поперечная сила и изгибающий момент
- •§ 4. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
- •§ 5. Примеры эпюр усилий для консоли
- •§ 6. Примеры эпюр усилий для простой балки на двух опорах
- •§ 7. Сложная нагрузка
- •§ 8. Рама
- •§ 1. Основные допущения
- •§ 2. Распределение нормальных напряжений
- •§ 3. Вычисление нормальных напряжений
- •§ 4. Осевые моменты инерции и моменты сопротивления простых фигур
- •§ 5. Моменты инерции сложных фигур
- •§ 6. Рациональные формы сечений балок
- •§ 7. Касательные напряжения при изгибе
- •§ 8. Определение касательных напряжений
- •§ 9. Расчет на прочность при изгибе
- •§ 10. Расчет составных балок
- •§ 11. Изгиб за пределом пропорциональности
- •§ 1. Тонкостенная балка
- •§ 2. Балка с криволинейной стенкой
- •§ 3. Изгиб открытого профиля
- •§ 4. Центр изгиба
- •§ 5. Изгиб замкнутых профилей
- •§ 6. Центр изгиба замкнутого профиля
- •§ 8. Балка со стенкой, не работающей на сдвиг
- •§ 1. Примеры деформации балок и рам
- •§ 3. Правило Верещагина
- •§ 5. Более сложные случаи расчета
- •§ 6. Расчет на жесткость
- •§ 7. Деформация фермы
- •§ 1. Признаки статической неопределимости систем
- •§ 5. Статически неопределимые рамы
- •§ 6. Система уравнений перемещений
- •§ 7. Примеры расчета многократно статически неопределимых систем
- •§ 2. Косой изгиб
- •§ 4. Изгиб с кручением
- •§ 5. Другие случаи сложного сопротивления
- •§ 2. Формула Эйлера
- •§ 5. Потеря устойчивости пластин
- •§ 6. Продольно-поперечный изгиб стержней
- •§ 2. Образование простейшей пространственной фермы
- •§ 7. Случай внеузловой нагрузки
- •Литература и источники
Чтобы получить момент сопротивления открытого профиля, нужно ве
личину 7* разделить на наибольшую толщину, Wk= Jk_
^max
Таким образом в общем случае открытого профиля с различной тол щиной стенок формулы для наибольших напряжений и угла закручивания имеют вид
мк |
ЗМ К |
Мк |
змк |
(4) |
|
Wk |
Z stз |
GJk |
G £s/3 |
||
|
В частном случае, когда все стенки профиля имеют одинаковую тол щину /, из этих формул получаются формулы (3).
Пример 1. Определить напряжения и угол закручивания дуралюминового швеллера (фиг. 7.5) длиной /= 2 м от крутящего момента Мк—
=200 кг см.
Для заданного профиля
Л = " Т (2-3.0,43+5-0,33)=0,173 см*.
О
Наибольшие напряжения возникают в горизонтальных полках:
Мх |
Мк |
200 |
•Сшах = — |
= - Г - |
<шах=»ТГТ^7 0,4=462 кгІсм - |
W ff |
Jfg |
Ό, I /о |
Абсолютный угол закручивания, принимая для дуралюмина G=280 000 кг/см*. равен
Λίκ/ |
200-200 |
|
|
180 |
φ = ----- = ——---------------- =0,826 радиан или |
¢=0,826 — =47*. |
|||
Y GJk |
280000-0,173 |
F |
т |
π |
При сравнительно небольших напряжениях угол закручивания полу чается очень большой. Это показывает, чго жесткость на кручение откры того профиля чрезвычайно мала.
Задачи. 1. Определить допускаемый крутящий момент дуралюмино-
вого |
равнобокого угольника |
с размерами 50χ50χ4 мм по условиям |
|||||||||||
прочности |
и жесткости, |
если |
[τ]=500 кг/см1, [φ] = 1* |
на |
метр |
и |
0 = |
||||||
=280 000 |
кг/смг. |
Ответ·, |
по |
прочности |
Λίκ=256 |
кг см, |
по |
жесткости |
|||||
Λίκ=10 кг см. |
|
|
м на участке /t= 0,2 |
|
м крутящий |
|
|
||||||
2. В стержне длиной /=0,6 |
|
момент |
|||||||||||
положительный, |
Мк=130 |
кг см, а на остальной |
части |
отрицательный |
|||||||||
Λίκ= —80 кг см. Сечение стержня—швеллер высотой 6=60 мм |
и шириной |
||||||||||||
полок |
6=35 мм. Подобрать толщину стенок, чтобы |
напряжения |
не пре |
||||||||||
восходили |
120 кг/см2, и вычислить абсолютный угол |
закручивания |
всего |
||||||||||
стержня, |
если модуль G=280 000 тгг/см*. |
Ответ: |
|
t= 5 мм; |
φ=13' 36". |
§3. Напряжения в замкнутом профиле
То н к о с т е н н а я т р у б а . Полый вал, у которого отношение внутрен него диаметра к наружному достаточно велико и приближается к единице, представляет собой трубу с тонкой стенкой. Ее можно получить из тонкого
плоского листа, если его свернуть и края соединить, положим, при помощи заклепок или сварки. Труба может быть и цельнотянутой. Сечение такой трубы представляет собой тонкостенный замкнутый профиль (фиг. 7.6).
187
Напряжения по толщине его стенки при кручении распределяются по тра пеции [формула (6) гл. VI], как в полом валу:
тя= —,к Ό — |
и |
Мк |
d |
|
2 ' |
||
J P 2 |
|
JP |
Разница между напряжениями у наружной и внутренней поверхности (фиг. 7.6) тем меньше, чем тоньше стенки профиля, и практически можно считать, что в тонкостенном замкнутом
-профиле касательные напряжения распре деляются равномерно по толщине стенок.
Их величина равна напряжению, возникаю щему в точках средней линии сечения стенки:
, _ 'н+тв _МК dc
2 Jp 2 ' где dc— диаметр средней линии.
При расчете тонкостенных профилей часто приходится пользоваться не величи ной напряжений, а равнодействующей ка сательных напряжений, приходящихся на единицу длины контура сечения. Такая рав нодействующая напряжений называется по гонным касательным усилием
Как было установлено в гл. VI, § 2, напряжения в точках окружности круглой трубы одинаковы, следовательно,, и погонное касательное усилие имеет
постоянное значение для всего контура трубы.
Фиг. 7. 7. |
Кручение замкнутого профиля. |
|
|||
а — продольными |
и |
поперечными сечениями |
вырезан |
||
элемент |
MNPQ-, |
б — погонные |
касательные |
усилия |
|
|
|
в гранях элемента. |
|
||
З а м к н у т ы й |
п р о ф и л ь . |
Рассмотрим |
стержни с замкнутым контуром |
сечения произвольного очертания, причем такие, у которых все поперечные сечения одинаковы. Подобный стержень представляет собой цилиндр с про извольным основанием и с постоянной толщиной стенки вдоль его образую щей. В поперечном сечении толщина стенки может быть различной для
188
отдельных участков контура (фиг. 7.7). Будем предполагать, что форма контура все время остается неизменной и поперечные сечения поворачи ваются при кручении, как диски, жесткие в своей плоскости. В действитель ных конструкциях это обеспечивается введением в конструкцию диафрагм. Примером такой конструкции является крыло самолета или фюзеляж, у ко торых для придания неизменности формы их поперечных сечений служат соответственно нервюры и шпангоуты. При закручивании в таком стержне, как и в круглой трубе, возникают касательные напряжения, которые можно считать распределенными равномерно по толщине стопок. Касательные на пряжения на длине контура, равной единице, образуют погонное касательное усилие q, направленное по касательной к контуру сечения. Оказывается, что усилия q имеют постоянное значение во всех точках контура не только для круглого профиля, но и для всякого другого замкнутого тонкостенного про филя.
Для доказательства выделим из стержня двумя поперечными и двумя продольными сечениями (фиг. 7. 7, а) часть стенки MNPQ с ирбизвольной длиной s по контуру. От оставшейся части стержня на боковые грани выделенной стенки передаются силы взаимодействия в виде погонных касательных усилий q=xt (фиг. 7.7.6). Так как касательные напряжения от момента М к во всех поперечных сечениях одинаковые, т. е. в точках М и Р касательные усилия равны, то по закону парности для всех точек продольной грани РМ касательное усилие имеет постоянное значение
Ч'м= —Я м ~~ Яр и Дает равнодействующую силу Я'мх - На основании этих же соображений и в любой другой продольной грани QN усилие q‘N ——q#
имеет постоянное значение и дает равнодействующую q'Nx, направлен
ную противоположно силе Я'мх - Составляя условие равновесия элемента
MNPQ в виде проекции всех его сил на ось х, параллельной образующей получаем
Ч 'м х - ? > = 0·
Отсюда находим, что ям =Яц, а принимая во внимание закон парно
сти, получаем, что Ям= Яя· Точки М и N взяты произвольно по длине |
||
контура, следовательно, |
при кручении тонкостенного замкнутого про |
|
филя погонное касательное усилие постоянно по всему сечению: |
||
|
q= zt= const. |
(5) |
Направление усилий совпадает с направлением касательной к контуру. |
||
Касательные напряжения |
изменяются но длине контура в зависимости от |
|
|
Я |
|
толщины стенок, так как т = - у - . |
|
|
Разрежем брус поперечным сечением по PQ на две части |
(фиг. 7. 7, а) |
|
и, отбросив переднюю, |
найдем величину q из условия, что |
оставшаяся |
часть бруса (фиг. 7.8,«) |
должна находиться в равновесии под |
действием |
внешних и внутренних сил. Составим это условие. Так как в поперечном сечении на единицу длины s контура действует усилие q, то на малый эле мент длиной Δ»· будет действовать малая сила q \s (фиг. 7. 8, а). Она создает относительно произвольной оси Ох момент &M =q\sr. Здесь г — плечо силы — является перпендикуляром, опущенным из полюса О (точки пере сечения оси с плоскостью сечения) на направление касательной к конту ру, так как именно по этому направлению действует малая сила qSs.
Сумму моментов всех этих сил нужно распространить на все попереч ное сечение по замкнутому контуру. Она дает величину момента внутрен
них сил, действующего на профиль |
со стороны разреза и вращающего |
|
относительно оси х против |
часовой |
стрелки, |
Σ^Λί—Σяrλs=я %r£bs. |
||
к |
к |
к |
189
Принимая во внимание, что усилие q является постоянной вели чиной, оно вынесено за знак суммы как общий множитель.
Оставшееся под знаком суммы произведение rAs=A<a равно удвоен ной площади малого треугольника с основанием As и высотой г (фиг. 7. 8, б). Такие треугольники являются секторами, которые образуются подвижным переменным радиусом р, когда один его конец перемещается по контуру, а второй все время совпадает с выбранным центром О. Сумма произве дений rAs, равная сумме удвоенных площадей малых треугольников, пред ставляет собой удвоенную площадь, ометаемую подвижным радиусом. При
7 Δε
Фиг. 7.8. Напряжения в замкнутом профиле.
а — отсеченная часть стержня; б — площадь контура, ометаемая подвижным радиусом р.
обходе всего контура она равна удвоенной площади ωκ, ограниченной средней линией сечения (фиг. 7.8,6), ·
Σ ιΆε*=Σ Аа>=а>к.
кк
Таким образом внутренние касательные'усилия в замкнутом контуре создают момент
Σ AM — q<aK.
К
С противоположной стороны действует внешний момент, равный кру тящему моменту Λίκ и вращающий этот же профиль по часовой стрелке. Условие равновесия сил, приложенных к отсеченной части тонкостенного цилиндра, получает вид
Σ AM — Λίκ=<?ωκ — Мк= 0.
К
Отсюда окончательно находим
М,
(6)
ω
Погонное касательное усилие равно крутящему моменту, деленному на удвоенную площадь, ограниченную контуром. Условимся считать положи тельным касательное усилие, если оно действует в направлении обхода сечения против часовой стрелки. Его величины, отложенные в виде ординат перпендикулярно касательной к контуру, определяют эпюру погонных ка сательных усилий q. Положительные ординаты этой эпюры будем отклады вать снаружи контура. Тогда стрелки, изображающие величину q в пло скости сечения, повернутые на 90° по часовой стрелке, будут совпадать с ор динатами эпюры.
Для примера возьмем тонкостенный брус с замкнутым прямоугольным сечением (фиг. 7.9,а). При действии крутящего момента Мк в сечениях
бруса возникают |
AfK |
погонные касательные усилия q = ------, эпюра которых |
|
изображена на |
2ab |
фиг. 7.9,6. |
190
Касательные напряжения при кручении замкнутого профиля с произ вольным контуром равны
τ==~Γ=^i о)|^ Г? (7)
По этим же формулам следует определять касательные усилия и на пряжения в сечениях тонкостенной круглой трубы, которая является част ным случаем замкнутого профиля. В сечениях вдоль образующей тонкостен ного цилиндра, нормальных к его контуру, также возникают касательные·
<7
напряжения х= -~- (фиг. 7.7); на основании закона парности они равны
напряжениям в поперечном сечении, вычисляемым по формуле (7).
Фиг. 7.9. Распределение усилий в замкнутом профиле.
а — тонкостенный стержень с прямоугольным контуром; б — эпюра по гонных касательных усилий; в — пластинка, выделенная из тонкостен ного бруса, находится в условиях чистого сдвига.
Всякий прямоугольный элемент ABCD, вырезанный из тонкостенного бруса продольными и поперечными сечениями, представляет собой пластин ку, нагруженную по граням только касательными усилиями q (фиг. 7.9,в). Она находится в условиях чистого сдвига (гл. V, § 1). В этом случае в пло щадках, наклоненных на 45° к продольному или поперечному сечению, воз
никают главные нормальные усилия, |
численно |
равные касательным |
|σί| = |τ/| =q. В одном направлении они |
растягивают |
пластинку, а в дру |
гом — сжимают. |
|
|
Фиг. 7. 10. Сопротивление кручению зам кнутого и открытого профилей.
а — замкнутый профиль выдерживает большую крутящую нагрузку; б — открытый профиль нѳ может работать на кручение.
Сжимающие напряжения при некотором значении нагрузки вызывают волнообразование обшивки. Вычисление нагрузки, при которой волнообра зование может произойти, а также случаи, когда оно допустимо и когда не допустимо, рассматриваются ниже в гл. X, § 8.
Необходимо отметить, что тонкостенный замкнутый профиль с неизмен ной формой сечения сопротивляется закручиванию значительно сильнее, чем
191
-открытый с тем же очертанием контура. При одинаковых допускаемых на
пряжениях |
тонкостенный цилиндр (труба) |
выдерживает во много раз боль |
||||
шую крутящую нагрузку (фиг. |
7. 10,а), чем открытый |
профиль, |
полученный |
|||
из цилиндра, путем разреза его |
в продольном |
направлении (фиг. 7. 10,6). |
||||
В первом случае допускаемая грузоподъемность определяется, исходя |
||||||
из формулы (7) для замкнутого |
профиля |
Λίκ«=[τ] ωκ7. |
Во втором случае |
|||
.нужно пользоваться формулой |
(3), как для вытянутого прямоугольника |
|||||
st* |
|
ωκ |
Замкнутый |
профиль по |
||
Λίκ=[τ]- |
Отсюда следует, что —г-=— |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
-st
грузоподъемности превосходит открытый с той же площадью поперечного сечения во столько раз, во сколько удвоенная площадь, ограниченная
.контуром сечения, |
|
больше трети площади самого |
сечения. Крутящий мо |
|||||||||||||
|
|
|
|
мент, который может воспринять открытый |
||||||||||||
|
|
|
|
профиль, |
по сравнению с моментом |
замкнутого |
||||||||||
|
|
|
|
профиля |
весьма незначителен, |
и |
обычно счи |
|||||||||
|
|
|
|
тают, что открытый профиль на кручение рабо |
||||||||||||
|
|
|
|
тать |
не может. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Также в пользу замкнутого сечения было бы |
|||||||||||
|
|
|
|
сравнение и по деформациям. Жесткость на кру |
||||||||||||
|
|
|
|
чение открытого сечения во много меньше же |
||||||||||||
|
|
|
|
сткости замкнутого |
(см. ниже |
§ |
4). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Пример 1. Определим напряжения в обшив |
|||||||||||
|
|
|
|
ке элерона, |
сечение |
которого |
изображено на |
|||||||||
Фиг. 7.11. Пример |
опре |
фиг. |
7. 11,а, |
при |
скручивании |
его |
моментом |
|||||||||
М к =200 |
кем. Сечение |
обшивки |
представляет со |
|||||||||||||
деления напряжений |
при |
|||||||||||||||
бой |
замкнутый |
контур. |
Неизменность |
контура |
||||||||||||
|
кручении. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
обеспечивается |
нервюрами. |
|
|
|
|
||||||||
а — сечение элерона; |
б— |
|
|
|
контуром |
|||||||||||
|
Удвоенная |
площадь, |
ограниченная |
|||||||||||||
эпюра |
погонных |
каса |
сечения обшивки, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тельных усилий |
|
|
|
|
3,14-10* |
|
10-•40 \ |
|
|
|
||||||
|
в обшивке. |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
"к—2 ^ |
4-2 |
|
2 |
Г 478 см*. |
|||||||
Погонное касательное |
усилие в ней находим по формуле (6): |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Л4К |
20000 |
=41»8 кг/см- |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
? =— |
4 / 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ω κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Касательные напряжения равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
τ = — = — —=209 кг/смг. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На фиг. 7.11,6 изображена эпюра q. При постоянной толщине стенок |
||||||||||||||||
такой |
же вид имеет и эпюра τ. Если бы обшивка имела продольный разрез, |
то напряжения в ней пришлось бы вычислять как в открытом профиле по формуле (3). Для сравнения определим эти напряжения. Длина периметра
контура |
|
______ |
|
|
s= 3,14-5+2 j / ”5*4-40*—96,3 см. |
|
|
||
Касательные напряжения |
|
|
||
|
3Мк |
3-20000 |
, |
, |
ттях =----- = ----------------- =15600· кг см3 |
||||
шах |
st* |
96,3(0,2)* |
|
|
15 600 |
„„ |
раз, и, конечно, никакой |
материал их не вы |
|
увеличиваются в --------=75 |
держит. В этом случае обшивка получает значительные деформации и выходит из работы. Для передачи крутящей нагрузки необходимо преду смотреть другие элементы конструкции.
192