в плоскости фермы. Нагрузку, перпендикуляр'ную к своей пло­ скости, плоская ферма сама воспринимать не может. Для вос­ принятая неизбежных боковых нагрузок приходится конструиро­ вать дополнительные поперечные связи, что приводит к про­ странственной конструкции; таковы и все конструкции, приведен­ ные выше,— крыло, фюзеляж, мост, кровля и др. Таким обра-

а)

Фиг. 2.4. Конструктивные формы узлов.

а —сварной узел мотофермы; б—клепаный узел лонжерона; в—шар­ нирное прикрепление расчалки (цилиндрический шарнир).

зом плоская ферма является обычно составной частью простран­ ственной. Случаи ее самостоятельного существования очень ред­ ки. Однако плоская ферма часто может быть выделена из про­ странственной и рассчитана отдельно. В настоящей главе рас­ сматривается расчет плоских ферм.

§ 2. Образование простейших ферм

При конструировании ферм первым вопросом является обес­ печение геометрической неизменяемости. На этот важный вопрос часто можно дать ответ, проследив образование системы.

37

П р и к р е п л е н н а я ф е р м а . Представим себе две точки А и В (фиг. 2.5,а), прикрепленные к земле или другой неизменяе­ мой системе. Пусть обе эти точки находятся в плоскости чертежа. Мы хотим прикрепить к ним при помощи стержней, присоединен­ ных шарнирно, некоторую третью точку С, находящуюся также в плоскости чертежа, так, чтобы она в этой плоскости переме­ щаться не могла. Если поставим один стержень АС, то точка С не сможет перемещаться в направлении АС, но в направлении,

Фиг. 2.5. Образование простейших плоских ферм.

а —первичная простейшая прикрепленная ферма; б—простейшая прикрепленная ферма (последова­ тельно присоединены узлы D, F и G); в—первич­ ная простейшая свободная ферма—шарнирный тре­ угольник; г —простейшая свободная ферма (к пер­ вичному треугольнику последовательно присоеди­

нены узлы D, E, F).

к нему перпендикулярном, она сможет перемещаться, так как стержень АС может поворачиваться вокруг шарнира А. Чтобы воспрепятствовать этому перемещению, поставим еще стержень ВС. Тогда точка С станет неподвижной. Два стержня АС и ВС полностью закрепляют точку С в своей плоскости. Получен­ ная жесткая система двух стержней, соединенных шарнирно, яв­ ляется первичной простейшей прикрепленной плоской фермой. Такая система может воспринимать нагрузку, например, силу Р (фиг. 2. 5,а), и выдерживать ее в пределах прочности и устойчи­ вости стержней. Если нужно присоединить еще один узел, то понадобятся еще два стержня. Так прикрепляем к опоре Е и узлу С новый узел D (фиг. 2.5,6). Стержнями EF и DF можно прикрепить узел F, стержнями FG и CG — узел G и так далее

38

можно присоединять узлы каждый двумя новыми стержнями. Ферма, образованная описанным путем, называется простейшей прикрепленной фермой. Очевидно, число стержней s такой фер­ мы равно удвоенному числу присоединенных узлов я:

s = 2 n.

(1)

Неизменяемость прикрепленной фермы обусловливается ее связью с опорами и в случае удаления опор вся система или ее часть перестает быть неизменяемой.

С в о б о д н а я ф е р м а . Теперь проследим образование про­ стейшей свободной фермы. Пусть имеем стержень А В (фиг. 2. 5,в). Прикрепим к концам этого стержня узел С при помощи стерж­

ней АС и ВС; получаем
треугольник		АВС — неиз­				а)
меняемую		систему		из
грех	стержней — первич­
ную свободную			ферму.
К	полученному			тре­
угольнику		могут		быть
прикреплены		новые		узлы
(фиг.	2. 5,г): при помощи					Фиг. 2.6. Примеры изменяемых систем.
стержней BD и CD при­						а —система с недостаточным количеством
соединяем узел			D,	при		стержней; б—система с неправильным
помощи стержней СЕ					и	расположением стержней.
АЕ — узел Е; узел Е мо­
жем	использовать для				прикрепления нового узла, стержнями

EF и AF прикрепляем узел F и т. д. Для прикрепления каждого узла требуется два стержня. Получаемая таким образом неиз­ меняемая система называется простейшей свободной фермой.

Ее неизменяемость не связана с опорами. Из ферм, изображен­ ных на фиг. 2. 1 и 2. 2, первая амяется прикрепленной фермой, остальные — свободными.

Установим 'Зависимость между количеством стержней s и узлов п в свободной ферме. В первичном треугольнике АВС

(фиг.	2. 5,г)	мы имели три узла и	три стержня. Следовательно,
новых	узлов	присоединено п — 3.	Для присоединения	каждого
нового узла		требовалось по два стержня, т. е. всего		(я — 3)2.

Прибавляем сюда три стержня исходного треугольника, полу­ чаем число стержней s свободной фермы:

s= (n —3)2 + 3= 2я—3.

(2)

Формулы (1) и (2) дают необходимое число стержней для образования фермы. При числе стержней меньшем, чем тре­ буется по формулам (1) или (2), система будет изменяема. На­ пример, система, показанная на фиг. 2. 6,а, является механиз­ мом. Число прикрепленных узлов равно восьми. Необходимое соответствующее число стержней по формуле (1) для прикреп­ ленной фермы равно 16. В системе же всего 15 стержней. Введя

39

раскос в первую или вторую панель, получим неизменяемую си­ стему —- ферму. Однако выполнение условий, требуемых форму­ лами (1) или (2), не является достаточным признаком геометри­ ческой неизменяемости системы. Необходимо, чтобы стержни были правильно расположены. При неправильном расположении стержней система и при достаточном количестве стержней мо­ жет быть изменяемой. Система, изображенная на фиг. 2.6,6, представляет пример неправильного расположения стержней; она является изменяемой. Возможная деформация системы без де­ формации ее стержней показана на чертеже пунктиром. Заменив

а)	IP		стержень АС (или ВС) на CD, получим
			неизменяемую систему (простейшую
А	с \	В	ферму).

М г н о в е н н о

и з м е н я е м ы е

с и с т е м ы .

Неправильное расположе­

ние стержней приводит

иногда

к

так

б )

называемой мгновенно изменяемой

си­

*

. £■— ..- і .

стеме.

Если бы в

первичной

ферме

(фиг. 2. 5,а

или 2. 5,б) точки А, В

и С

Фиг. 2.7.

Примеры

мгно­

лежали на одной прямой (фиг. 2. 7), то

венно изменяемых систем.

получилась

бы система,

обладающая

а —двухстержневая

систе­

частичной подвижностью. В самом де­

ма с расположением

шар­

ле, стержень ВС может препятствовать

ниров

на

одной

прямой.

повороту стержня АС вокруг точки А

Малая

сила

Р

вызывает

только тогда, когда он образует с ним

большую

деформацию си­

угол,

отличный от

180°.

В противном

стемы

и

большие усилия

случае сила, приложенная в

узле С,

в стержнях; б-предельный

случай

трехшарнирного

вызывает

значительное

перемещение

треугольника

—

шарниры

его (фиг. 2. 7,а), прежде чем стержни

расположены на одной пря­

ВС и АС смогут воспринять приложен­

мой.

ную силу и воспрепятствовать дальней-

шему перемещению узла. Такие системы, обладающие подвиж­ ностью в первое мгновение действия нагрузки, называются мгно­ венно изменяемыми (в § 4 приведены другие примеры мгновенно изменяемых систем). В конструкциях, несущих нагрузки, мгно­ венно изменяемые системы недопустимы как по причине боль­ шой деформации, так и из-за весьма больших внутренних уси­ лий, возникающих в них. Поэтому при образовании ферм путем присоединения каждого нового узла двумя стержнями нужно следить, чтобы эти стержни не лежали на одной прямой, т. е. не составляли бы продолжение один другого.

§ 3. Соединение ферм друг с другом. Сложные фермы

С о е д и н е н и е	д в у х ферм. Пусть дана	ферма /
(фиг. 2. 8,а), которую	необходимо жестко прикрепить	к другой

ферме (или к земле) II. Фермы / и II изображены в виде двух жестких дисков, так как расположение стержней в них в данном

40

случае нас не интересует. Присоединяя диск I к диску II шарни­ ром А, замечаем, что у диска I остается еще свобода поворота относительно диска II вокруг шарнира А. Чтобы сделать присое­ динение неизменяемым, вводим стержень ВС, не проходящий через шарнир А.

а )

.

б )

б )

Фиг. 2.8. Соединение двух дисков друг с другом.

а —диск / прикреплен к диску II при помощи неподвиж­ ного шарнира и стержня; б-прикрепление при помощи трех стержней (два стержня заменяют неподвижный шарнир); в—прикрепление при помощи трех стержней— два стержня образуют фиктивный шарнир в точке А; г—перемещения точек F и G при повороте диска вокруг точки А\ д—малым перемещениям FF' и GG' соответ­ ствует мгновенный центр поворота А; е прикрепление при помощи трех стержней—два стержня образуют фик­ тивный шарнир (А)\ ж—направления прикрепляющих стержней проходят через одну точку-изменяемая си-

стема.

На фиг. 2. 8,6 показан другой вариант такого же прикрепле­ ния. Сперва прикрепляем одну точку А диска I к диску II при помощи двух стержней DA и ЕА. Точка А выполняет роль шар­ нира А предыдущего варианта. Постановкой стержня ВС, не проходящего через точку А, завершаем прикрепление. Замечаем на этом примере, что два стержня равносильны шарниру.

41

На фиг. 2. 8 ,в показан третий вариант неизменяемого соеди­ нения двух дисков. Он отличается от предыдущего тем, что не содержит стержней, пересекающихся в одном шарнире. Направ­ ления стержней DF и EG пересекаются в точке А, называемой

фиктивным шарниром. Можно показать, что соединение является неизменяемым, если направление третьего стержня СВ не про­ ходит через точку А. Для доказательства рассмотрим диск (фиг. 2. 8,г), который поворачивается вокруг произвольной точ­ ки А на угол а. Тогда некоторая точка F диска опишет дугу FF', а другая какая-либо точка G — дугу GG', причем, если угол я мал, то эти дуги приближенно можно заменить перпендикуля­ рами к радиусам AF и AG. Обратно, если известны направления FF’ и GG' перемещений двух точек F и G диска при вращении его на малый угол, то можно найти центр поворота А как точку пересечения радиусов FA и GA, проведенных перпендикулярно

к направлениям перемещений	точек F и G. Возвратимся	к
фиг. 2. 8,в. Отбросим стержень	ВС (фиг. 2. 8,д) и посмотрим,
как переместятся точки F и G диска I, если считать диск II		не­

подвижным. Стержни DF и EG могут только поворачиваться от­ носительно неподвижных точек D и Е. Точки F и G, принадлежа­ щие диску I, очевидно, переместятся в направлениях, перпенди­ кулярных к направлениям стержней DF и EG (при малых пере­ мещениях). Следовательно, по доказанному выше, точка А яв­ ляется в первый момент движения центром поворота диска /. Эта точка называется мгновенным центром вращения (в после­ дующее мгновение центром вращения уже будет другая точка, определяемая новым положением стержней DF и EG\ центр вращения непрерывно перемещается). Стержень СВ препятст­ вует указанному вращению (если его направление не проходит через точку А) и соединение в целом является неизменяемым.

Аналогичное прикрепление изображено на фиг. 2 .8,е; оно является неизменяемым потому, что стержень СВ не проходит через фиктивный шарнир А.

Если направление стержня ВС проходит через фиктивный шарнир А, система мгновенно изменяема (фиг. 2.8,ж); диск / поворачивается вокруг точки А на более или менее значитель­ ный угол (соответствующие положения прикрепляющих стерж­ ней показаны пунктиром). Мгновенно изменяемым является так­ же прикрепление параллельными стержнями. Точка пересечения этих стержней находится бесконечно далеко, поэтому один диск может перемещаться поступательно относительно другого. При параллельных стержнях одинаковой длины получается меха­ низм.

Итак, система из двух дисков, т. е. из двух неизменяемых систем, соединенных тремя стержнями, неизменяема, если эти стержни (или их продолжения) не пересекаются в одной точке и не параллельны друг другу.

-42

Пример 1. Определим, является ли неизменяемой изобра­ женная на фиг. 2. 9,а система из девяти стержней, шарнирно со­ единенных по концам. Проверяем количество стержней. В дан­ ной системе шесть узлов. Необходимое количество стержней по формуле (2) равно 2 -6 —3= 9. Следовательно, при условии пра­ вильного расположения стержней рассматриваемая система мо­ жет быть фермой. Анализируем систему с точки зрения образо­ вания. Она не является простейшей (Ьеомой. т. е. не может быть образована последовательным присоединением узлов, а образо­

вана		путем соединения					двух		а)	б)
простейших ферм. Действитель­											В
но, система состоит из двух тре­									А	А
угольников АВС и DEF (являю­
щихся заведомо					неизменяемы­
ми	системами),				соединенных
тремя стержнями BF, AD и СЕ,
не	пересекающимися					в одной
точке (на фиг. 2. 9,6 эти стерж­
ни показаны пунктиром).								Си­
стема является неизменяемой.
	Задачи. 1. Доказать геомет­
рическую			неизменяемость					си­
стемы,			представленной					на
фиг. 2. 9,в.				Рассмотреть				со­
	Указание.								Фиг. 2.9. К исследованию неизме­
единение			простейших				ферм
ABCD и EFG между собой.									няемости сложных ферм.
	2.	Показать,			что	система,			а —заданная сложная ферма; 5 -а н а ­
изображенная				на фиг.			2.9,г,		лиз ее образования; в и г-примеры
является			мгновенно			изменяе­			для упражнений—исследовать неиз­
										меняемость.
мой.								с и с т е м а .		Три неизменяемые систе­
	Т р е х ш а р н и р н а я
мы I,		II и III,		соединенные шарнирно						(фиг. 2. ΙΟ,α), составляют

также неизменяемую систему, если шарниры не лежат на одной прямой, подобно тому как три стержня образуют первичную ферму — треугольник. Шарниры трехшарнирной системы могут быть фиктивными, как, например, в системе, изображенной на фиг. 2. 10,6; она является неизменяемой, так как фиктивные шарниры А, В и С не лежат на одной прямой.

Система, изображенная на фиг. 2. 11,а, также может быть истолкована как трехшарнирная. Для этого три стержня, напри­ мер, DE, JF и HG рассматривают как диски I, II и III, а осталь­ ные стержни — как соединяющие. Стержень DE соединен со стержнем IF стержнями ID и FE, образующими фиктивный шар­ нир А. Стержни IF и HG соединены стержнями JH и FG, обра­ зующими фиктивный шарнир в точке В. Стержни DE и HG так­ же соединены между собой двумя стержнями DG и ЕН, обра­ зующими фиктивный шарнир в точке С. Фиктивные шарниры А,

43

Фиг. 2. ІО. Соединение трех дисков в одну		неиз­
меняемую систему.
а —трехшарнирная система. Шарниры	А, В	и С
не должны лежать на одной прямой;	б—соедине­

ние при помощи шести стержней, образующих фиктивные шарниры А, В и С, не лежащие на на одной прямой.

б)

Фиг. 2.11. К исследованию неизменяемости сложных ферм.

а —стержни /, II и III соединяются между собой шестью другими стержнями, образующими фиктивные шарниры в точках А, В и С, не лежащих на одной прямой—си­ стема неизменяема; б и в—примеры для упражнений— исследовать неизменяемость.

44