3. Упругие силы. Закон Гука

Упругими называются силы, возникающие при упругих деформациях тел.

Рассмотрим зависимость деформации металлического стержня или струны от величины внешней растягивающей силы F (рис. 3.10). Удлинение стержня будет зависеть не только от величины приложенной силы, но и от его начальной длины — l₀, поэтому в качестве объективной характеристики деформации тела принимается его относительное удлинение:

. (3.16)

Относительное удлинение будет одинаковым как для разных участков стержня, так и для всего стержня в целом. Эта величина будет зависеть теперь только от приложенной силы.

Рис. 3.10

Считается, что растягивающая сила равномерно распределена по поверхности любого поперечного сечения стержня S. Отношение называется напряжением. Напряжение измеряется в и численно равно силе, действующей на поверхности единичной площади. На графике (рис. 3.11) представлена зависимость относительной деформации  от напряжения .

Рис. 3.11

Вначале с увеличением растягивающего усилия F деформация стержня растёт пропорционально напряжению (до точки П на графике). При дальнейшем увеличении нагрузки пропорциональность нарушается, стержень удлиняется при почти неизменной нагрузке. Эта область — за точкой Т диаграммы называется областью текучести. Здесь происходят пластические, необратимые деформации, которые не исчезнут бесследно после снятия нагрузки. Дополнительное увеличение нагрузки приводит к разрыву стержня (т.Р).

Упругие силы возникают при деформациях стержня только в пределах области пропорциональности. Здесь напряжение пропорционально относительной деформации

 = Е   (3.17)

Эта важная зависимость была установлена в 1660 году английским учёным и изобретателем Робертом Гуком. Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука — модуль Юнга — является одной из характеристик материала.

Отметим, что всё сказанное справедливо, конечно, и для случая сжатия стержня.

Перепишем закон Гука в таком виде

,

F = k  l, (3.18)

где: — коэффициент упругости.

В этой форме закон Гука записывают и для случая упругой деформации пружин

Е = к  х, (3.19)

здесь: х — деформация пружины,

F — приложенная внешняя сила (рис. 3.12).

X

Рис. 3.12

Если рассмотреть малый элемент пружины х, то окажется, что он находится в равновесии потому, что кроме внешней силы на него действует равная по величине и противоположная по направлению упругая сила

F_упр = –F = –к  х

Упругая сила, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна величине деформации х тела. Знак минус означает, что упругая сила направлена всегда к положению равновесия.

3. Пример применения законов Ньютона

В качестве примера рассмотрим задачу о соскальзывании небольшой шайбы с наклонной плоскости, составляющей угол  = 45 с горизонтом.

Найти коэффициент трения  шайбы о плоскость, если расстояние, пройденное телом, меняется со временем по квадратичному закону S = c  t². Здесь с = 1.73 м/с².

S = c  t²

с = 1.73 м/с²

 = 45

 = ?

1. сделаем рисунок

2. нанесём все силы, действующие на шайбу:

сила тяжести — mg,

сила трения — F_тр =   N,

упругая сила реакции опоры — N.

3. Выберем систему координат хy.

4. Запишем уравнение движения шайбы в векторном виде

5. Спроецируем это уравнение на направления х и y, учитывая, что в направлении y ускорение отсутствует а_y = 0.

х: –F_тр + mg sin  = ma (1)

y: N – mg cos  = 0 (2)

Из уравнения (2) следует, что

N = mg cos 

Используем этот результат в уравнении (1)

– mg cos  + mg sin  = m a.

или

(3)

Обратимся теперь к условию S = c  t² и найдем сначала скорость, а затем и ускорение движения.

.

. (4)

Используя найденные результат (4) в уравнении (3), вычислим искомый коэффициент трения

Результат, вполне ожидаемо, оказался безразмерным.