- •Курс общей физики (лекции)
- •Раздел I Физические основы механики Москва, 2003 Лекция 1 «Кинематика материальной точки»
- •Введение. Физика — основа современного естествознания. Из истории физики.
- •Из истории механики
- •Предмет механики. Идеализации физики. Методы задания движения материальной точки
- •Кинематика прямолинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение
- •Примеры прямолинейного движения
- •Равномерное движение
- •Равнопеременное движение
- •Скорость движения.
- •Производная вектора
- •Кинематические характеристики криволинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
- •Движение материальной точки по окружности
- •Лекция 3 «Динамика материальной точки»
- •Основная задача динамики. Законы Ньютона
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона. Сила
- •Третий закон Ньютона
- •Силы в природе
- •Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы
- •Силы трения
- •Сухое трение
- •Вязкое трение
- •Упругие силы. Закон Гука
- •Пример применения законов Ньютона
- •Лекция 4 «Преобразования Галилея. Динамика системы материальных точек»
- •Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике
- •Динамика системы материальных точек
- •Закон сохранения импульса
- •Теория о движении центра масс
- •Движение тел переменной массы. Реактивное движение
- •Лекция 5 «Динамика материальной точки»
- •Движение в неинерциальных системах отсчёта
- •Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта
- •Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта
- •Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.
- •Лекция 6 «Работа и энергия»
- •Работа и кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Лекция 7 «Работа и энергия»
- •Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
- •Работа неконсервативных сил
- •Силы и потенциальная энергия
- •Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
- •Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
- •Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
- •Закон сохранения момента импульса
- •Лекция 9 «Механика твердого тела»
- •Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
- •Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
- •Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
- •Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
- •Энергия движущегося тела
- •Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Скатывание тел с наклонной плоскости
- •Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
- •Давление жидкости. Законы гидростатики
- •Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
- •Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
- •Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики
- •Истечение жидкости из сосуда
- •Манометрический расходомер
- •Лекция 12 «Механические колебания»
- •Периодические процессы. Гармонические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Пружинный осциллятор
- •Математический маятник
- •Собственные колебания физического маятника
- •Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
- •Лекция 13 «Механические колебания»
- •Энергия гармонического осциллятора
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
- •Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •Основное уравнение релятивистской динамики
- •Закон эквивалентности массы и энергии
- •Рекомендуемая литература:
- •Содержание
Собственные незатухающие колебания
Классифицируя колебания, их делят, прежде всего, на собственные и вынужденные. Представить себе собственные колебания осциллятора очень просто: отведите из положения равновесия обычный маятник и отпустите. Движение, которое за этим последует, и есть собственные колебания маятника.
Если же колебания поддерживаются периодической «вынуждающей» силой, то возникнут вынужденные колебания.
Мы обращаемся к рассмотрению собственных колебаний, амплитуда которых не меняется во времени. Такие колебания называются собственными незатухающими.
Пружинный осциллятор
Пружинный маятник — это грузик массой m, прикреплённый к пружине жесткостью k. Грузик может двигаться вдоль оси x по горизонтальной поверхности без трения (рис. 12.4). Начало отсчета совместим с положением равновесия. Тогда координата грузика — x в любой момент времени равна деформации пружины. На движение маятника оказывает влияние только упругая сила. Запишем уравнение движения этого маятника.
Рис. 12.4
.
Это дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний пружинного осциллятора. Его принято записывать так:
(12.3)
Решением этого уравнения является гармоническая функция
x = a Cos (0t + ). (12.4)
Покажем, что предлагаемая функция удовлетворяет уравнению (12.3). Возьмём вторую производную по времени функции (12.4)
. (12.5)
Подставим (12.4) и (12.5) в дифференциальное уравнение (12.3).
Это равенство становится тождеством, если .
Так мы показали, что пружинный маятник при отсутствии сил трения совершает собственные незатухающие гармонические колебания x = aCos(0t + ) c частотой . Эта частота зависит только от свойств осциллятора: массы груза m и жёсткости пружины k.
Начальная фаза — определяется методом задания колебаний. Оттянем вначале груз на расстояние x0 = a и отпустим. При таком запуске колебаний в момент t = 0, x(0) = x0 = a. При этом Cos (t + ) = Cos = 1. Откуда следует, что = 0.
Теперь запустим колебания по–другому. Нанесем по грузику, покоящемся в положении равновесия, короткий удар, сообщив ему тем самым начальную скорость v0. В начальный момент времени t = 0, x(0) = 0 и Cos (t + ) = Cos = 0. Отсюда приходим к выводу, что при таком запуске колебаний = . Знак начальной фазы в этом случае определяется направлением начальной скорости v0.
Можно оттянуть грузик из положения равновесия и не просто отпустить, но и толкнуть. Тогда начальная фаза может принять любое значение от 0 до 2.
Зная частоту колебаний , легко вычислить период:
.
Скорость колеблющегося грузика:
(12.6)
тоже меняется по гармоническому закону с частотой 0. Амплитуда колебания скорости равна a0, а по фазе скорость на опережает смещение.
Ускорение груза
(12.7)
колеблется с той же частотой 0, опережая смещение по фазе на (рис. 12.5).
Рис. 12.5
Математический маятник
Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик на легкой длинной нити (рис.12.6).
Рис. 12.6
Движение такого маятника происходит под действием двух сил: силы тяжести — и упругой силы натяжения нити — . Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на касательное направление :
–mg Sin = ma. (12.8)
Тангенциальное ускорение a связано с угловым ускорением :
.
Учтя это соотношение, перепишем уравнение движения ещё раз:
,
или так:
.
При условии «малых колебаний» Sin и уравнение движения приобретает знакомую форму:
. (12.9)
Это дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника. Решение такого уравнения известно — это гармоническая функция:
= 0 Cos (t + ).
Квадрат круговой частоты этих колебаний равен коэффициенту при функции в уравнении (12.9):
, то есть . (12.10)
Частота определяется только длиной нити. Период колебаний математического маятника равен:
. (12.11)