- •Курс общей физики (лекции)
- •Раздел I Физические основы механики Москва, 2003 Лекция 1 «Кинематика материальной точки»
- •Введение. Физика — основа современного естествознания. Из истории физики.
- •Из истории механики
- •Предмет механики. Идеализации физики. Методы задания движения материальной точки
- •Кинематика прямолинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение
- •Примеры прямолинейного движения
- •Равномерное движение
- •Равнопеременное движение
- •Скорость движения.
- •Производная вектора
- •Кинематические характеристики криволинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
- •Движение материальной точки по окружности
- •Лекция 3 «Динамика материальной точки»
- •Основная задача динамики. Законы Ньютона
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона. Сила
- •Третий закон Ньютона
- •Силы в природе
- •Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы
- •Силы трения
- •Сухое трение
- •Вязкое трение
- •Упругие силы. Закон Гука
- •Пример применения законов Ньютона
- •Лекция 4 «Преобразования Галилея. Динамика системы материальных точек»
- •Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике
- •Динамика системы материальных точек
- •Закон сохранения импульса
- •Теория о движении центра масс
- •Движение тел переменной массы. Реактивное движение
- •Лекция 5 «Динамика материальной точки»
- •Движение в неинерциальных системах отсчёта
- •Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта
- •Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта
- •Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.
- •Лекция 6 «Работа и энергия»
- •Работа и кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Лекция 7 «Работа и энергия»
- •Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
- •Работа неконсервативных сил
- •Силы и потенциальная энергия
- •Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
- •Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
- •Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
- •Закон сохранения момента импульса
- •Лекция 9 «Механика твердого тела»
- •Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
- •Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
- •Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
- •Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
- •Энергия движущегося тела
- •Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Скатывание тел с наклонной плоскости
- •Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
- •Давление жидкости. Законы гидростатики
- •Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
- •Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
- •Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики
- •Истечение жидкости из сосуда
- •Манометрический расходомер
- •Лекция 12 «Механические колебания»
- •Периодические процессы. Гармонические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Пружинный осциллятор
- •Математический маятник
- •Собственные колебания физического маятника
- •Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
- •Лекция 13 «Механические колебания»
- •Энергия гармонического осциллятора
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
- •Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •Основное уравнение релятивистской динамики
- •Закон эквивалентности массы и энергии
- •Рекомендуемая литература:
- •Содержание
Лекция 13 «Механические колебания»
План лекции
1. Энергия гармонического осциллятора.
2. Собственные затухающие колебания.
3. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.
Энергия гармонического осциллятора
Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (упругая или квазиупругая), и, во-вторых, в системе должны отсутствовать диссипативные силы.
Запустить колебание можно по-разному, но в любом случае эта операция означает сообщение системе некоторого запаса энергии. Далее в процессе колебания эта энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую и обратно, но сумма этих энергий в любой момент времени должна быть неизменно равной начальной механической энергии.
Обратимся к конкретному осциллятору — пружинному маятнику (рис. 13.1).
Рис. 13.1
Колебание груза массой m происходит по гармоническому закону:
x = a Cos (t + ). (13.1)
Скорость груза меняется по закону синуса:
. (13.2)
Вычислим механическую энергию маятника в произвольный момент времени t:
Eмех = Ек + U.
Здесь: — кинетическая энергия груза,
U = — потенциальная энергия деформированной пружины.
(13.3)
(13.4)
В последнем выражении мы учли, что , то есть .
Кинетическая и потенциальная энергии осциллятора меняются с частотой, вдвое превышающей частоту колебаний маятника — 0 (рис. 13.2). И та и другая составляющие механической энергии осциллируют во времени. А их сумма?
(!). (13.5)
Их сумма остается неизменной в любой момент времени. Этот результат можно было бы предсказать a priori: ведь в процессе собственных незатухающих колебаний выполняется закон сохранения механической энергии.
Рис. 13.2
Легко видеть, что уравнение (13.5) выражает механическую энергию системы через максимальную кинетическую, когда потенциальная энергия равна нулю. В этот момент груз проходит с максимальной скоростью положение равновесия.
Но эту же механическую энергию можно связать и с максимальной потенциальной энергией — в точке амплитудного отклонения маятника, где v = 0 и Ек = 0.
. (13.6)
Здесь k = , поэтому
.
Максимальная потенциальная энергия (Umax) незатухающего осциллятора равна его максимальной кинетической энергии и обе они равны полной механической энергии (Емех) системы, которая в процессе колебаний остается неизменной.
Собственные затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:
.
Теперь введём в систему ещё одну силу — силу вязкого сопротивления, пропорциональную скорости движения:
.
Здесь r — коэффициент сопротивления. Знак минус означает, что сила сопротивления и скорость всегда направлены противоположно.
Закон движения — второй закон Ньютона — теперь примет такой вид:
.
В стандартном виде его записывают так:
. (13.7)
Это основное уравнение динамики гармонического осциллятора с вязким трением. Решением этого уравнения является гармоническая функция (рис. 13.3):
. (13.8)
Рис. 13.3
Амплитуда колебаний осциллятора с вязким сопротивлением убывает со временем по экспоненциальному закону:
. (13.9)
Здесь = — коэффициент затухания.
Частота затухающих колебаний отличается от частоты собственных незатухающих колебаний 0:
.
Вычислим время – , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз (e = 2.718 — основание натурального логарифма). При таком уменьшении амплитуды — почти в 3 раза — условно принято считать, что процесс «затух» и система вернулась к положению равновесия.
.
Отсюда следует, что время релаксации обратно пропорционально коэффициенту затухания :
(13.10)
Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания d, равный логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:
. (13.11)
Численно логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания на период колебаний.
Величина, с точностью до множителя обратная декременту затухания, называется добротностью осциллятора:
. (13.12)
Подсчитаем число колебаний, которое система совершает за время релаксации .
.
Отсюда следует, что добротность осциллятора с точностью до равна числу колебаний, за которое амплитуда падает в e раз.
Q = N.
Можно показать, что добротность осциллятора напрямую связана с энергетическими потерями в системе:
. (13.13)
Здесь: Е — энергия осциллятора;
Е — убыль энергии за одно полное колебание (за период).