Лекция 9 «Механика твердого тела»

План лекции

1. Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

2. Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

3. Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел.

1. Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела

Все тела под действием приложенных сил деформируются, то есть в большей или меньшей степени меняют свою форму и размеры. Если эти деформации незначительны и не оказывают влияния на движение тела, то в механике ими пренебрегают и говорят о движении абсолютно твёрдого тела. При движении такого тела принимается, что расстояние между двумя любыми его точками не меняется. Это означает, что движение частиц твёрдого тела закономерно и определённым образом связаны друг с другом.

Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного. Проиллюстрируем это утверждение простым примером (рис. 9.1). Пусть треугольник ABC в произвольном движении перемещается в положение A₁B₁C₁. Можно представить, что это перемещение происходит в два этапа. Сначала треугольник, двигаясь поступательно, занял позицию A’B₁C’, а затем во вращательном движении вокруг оси, проходящей через B₁, занял конечное положение A₁B₁C₁.

Рис. 9.1

Напомним, что поступательным движением называется движение, в котором все частицы тела за один и тот же промежуток времени получают одинаковые по величине и направлению перемещения. Это означает, что скорость и ускорение всех точек тела в этом движении одинаковы.

При вращении относительно неподвижной оси одинаков угол поворота  всех точек тела, а, следовательно, одинаковы их угловые скорости и ускорения .

Поступательное движение тела задаётся обычно уравнением движения его центра масс.

Вращательное движение описывается уравнением, которое получило название «основное уравнение динамики вращательного движения».

2. Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси

При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси, все точки тела движутся по плоским круговым траекториям. Выделим частицу m_i тела, вращающегося вокруг оси z (рис. 9.2). Положение частицы зададим радиус-вектором относительно произвольного центра 0, лежащего на оси вращения. R_i — радиус окружности, по которой движется рассматриваемая точка. V_i = R_i — её линейная скорость.

Рис. 9.2

Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:

. (9.1)

В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу m_i. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.

Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:

.

Заметим, что для всех частиц , поэтому легко вычислить модуль этого вектора L_i:

L_i = m_ir_iV_i = m_ir_iR_i.

Так как образует угол _i с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:

= L_iCos_i = m_ir_iR_iCos_i = m_iR_i(r_iCos_i) = m_i . (9.2)

Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:

. (9.3)

Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.

Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:

или

. (9.4)

Здесь: M_z — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;

_z — угловая скорость вращения;

— новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;

L_z = I_z_z — момент импульса тела относительно оси z.

Если момент инерции твёрдого тела I_z не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:

. (9.5)

Здесь ε = — угловое ускорение вращающегося тела.

Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

M_z = I_zε (9.6)

Трудно не заметить сходство этого уравнения со вторым законом Ньютона для движения точки:

F_z = ma_z

Сравнивая эти два выражения, отметим, что в уравнении для вращательного движения в качества «силы» выступает момент силы, вместо линейного ускорения — угловое, вместо массы используется момент инерции I_z.

Сходство этих уравнений можно продолжить, записав их иначе (9.2)

Здесь: L_z = I_z _x — момент импульса тела относительно оси z,

P_z = mV_z — проекция вектора импульса частицы на ось z.

Во вращательном движении аналогом импульса Р является момент импульса L.

Рассмотренные аналогии позволяют назвать уравнение (9.6) уравнением второго закона динамики (Ньютона) для вращательного движения:

момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела.

Вернемся ещё раз к уравнению (9.4):

.

Оно в равной степени справедливо как для твердого тела, так и для системы тел. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то момент импульса системы относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

M_z = 0,   L_z = I_z_z = сonst.

Это закон сохранения момента импульса — аналог закона сохранения импульса замкнутой системы. Но есть между этими законами одно существенное различие. Постоянство импульса частицы (если её масса не меняется) означает неизменность её линейной скорости:

p = mV = сonst.  V = сonst.

Если же не меняется момент импульса тела (L_z), то это не означает постоянства угловой скорости:

L_z = I_z = сonst.

Изменение момента инерции вращающегося тела приведёт к изменению его угловой скорости даже в случае отсутствия внешних вращающих моментов. При этом сохранится неизменным произведение I_z   = сonst., то есть угловая скорость окажется обратно пропорциональной моменту инерции тела (системы):

.

Известно много примеров, иллюстрирующих эту особенность закона сохранения момента импульса: вращение фигуристов и балерин, опыты на скамье Жуковского, сальто-мортале гимнастов и т.п.