Лекция 7 «Работа и энергия»

План лекции

1. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

2. Работа неконсервативных сил.

3. Силы и потенциальная энергия.

1. Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии

На прошлой лекции было введено понятие потенциальной энергии системы.

По определению разность потенциальных энергий системы в двух состояниях равна работе, совершаемой консервативными силами при переходе системы из первого состояния во второе:

.

Вычислим, в качестве примера, изменение потенциальной энергии пружины при её растяжении (рис. 7.1). Пусть х₁ — деформация пружины в первом состоянии, а х₂ — во втором.

Рис. 7.1

Упругая сила, согласно закону Гука, пропорциональна деформации:

F_упр = –kx.

Определим разность потенциальных энергий, подсчитав работу этой силы:

.

Отсюда следует, что потенциальная энергия упруго деформированной пружины пропорциональна квадрату деформации:

,

а энергия недеформированной пружины (х = 0) равна нулю.

Определение разности потенциальных энергий связывает эту величину с работой консервативных сил. Если в системе действуют только консервативные силы, то работу равнодействующей этих сил при переходе системы из одного состояния в другое можно записать двояко.

Во-первых, эта работа равна разности потенциальных энергий:

.

С другой стороны, эта же работа равна изменению кинетической энергии системы («Теорема о кинетической энергии»):

.

Не будем упускать из виду, что речь идёт об одной и той же работе, то есть:

,

или

.

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется её механической энергией: Е  U + E_к.

Результат, к которому мы пришли, можно сформулировать в виде закона сохранения механической энергии: механическая энергия системы, в которой действуют только консервативные силы, остаётся постоянной:

Е = U + E_к = сonst.

Неизменность механической энергии системы ни в коем случае не означает постоянство её кинетической и потенциальной энергий. В общем случае и та и другая энергии меняются. Но при этом убыль одной энергии всегда равна росту другой. Таким образом, происходит переход потенциальной энергии в кинетическую или обратно без потери механической энергии, так, что сумма этих энергий остаётся неизменной.

2. Работа неконсервативных сил

Рассмотрим систему n материальных частиц.

Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы , , …, . Это внутренние силы системы. Кроме того, на элементы системы действуют и внешние силы:

консервативные: , , …,

и

неконсервативные: , , …, .

Для каждого элемента системы запишем в векторном виде уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона):

.

Домножим скалярно все эти уравнения на элементарные перемещения соответствующих частиц: .

.

Сложим эти n уравнений:

.

Первое слагаемое слева — изменение кинетической энергии системы:

. (7.1)

Второе слагаемое — это сумма работ только консервативных сил (внешних и внутренних): как мы знаем, работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком, т.е. её убыли:

;

.

Правая часть уравнения (7.1) — это работа внешних неконсервативных сил.

Таким образом:

.

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2:

.

Мы пришли к следующему важному выводу:

.

Работа, совершаемая внешними неконсервативными силами при переходе системы из одного состояния в другое, равна изменению механической энергии системы.

Следующий пример показывает, как эффектно может быть использован полученный результат при решении задач.

С наклонной плоскости высотой 0.5 м и длиной 1 м без начальной скорости соскальзывает небольшая шайба. Определить коэффициент трения шайбы о плоскость, если у основания плоскости скорость шайбы равнялась 2.45 м/с (рис. 7.2).

h = 0.5 м l = 1 м V = 2.45 м/с	Рис. 7.2
 = ?

Рассмотрим механическую энергию шайбы в начальный момент (1) и в конце спуска (2):

E₁ = + U₁ = U₁ = mgh;

E₂ = + U₂ = = ;

Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на основании наклонной плоскости.

Изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил = E₂ – E₁. В данном случае это сила трения F = N = mgCos.

Работа силы трения при соскальзывании шайбы отрицательна:

= –F_тр  l = –mgCos  l.

Теперь соберём все эти данные:

–mgCos  l = E₂ – E₁ = – mgh.

Откуда:

.

Здесь мы очень кстати вспомнили, что Cos = .

Подставив числовые значения, получим:  = 0.22.

Результат, как и следовало ожидать, безразмерный:

.