- •Курс общей физики (лекции)
- •Раздел I Физические основы механики Москва, 2003 Лекция 1 «Кинематика материальной точки»
- •Введение. Физика — основа современного естествознания. Из истории физики.
- •Из истории механики
- •Предмет механики. Идеализации физики. Методы задания движения материальной точки
- •Кинематика прямолинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение
- •Примеры прямолинейного движения
- •Равномерное движение
- •Равнопеременное движение
- •Скорость движения.
- •Производная вектора
- •Кинематические характеристики криволинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
- •Движение материальной точки по окружности
- •Лекция 3 «Динамика материальной точки»
- •Основная задача динамики. Законы Ньютона
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона. Сила
- •Третий закон Ньютона
- •Силы в природе
- •Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы
- •Силы трения
- •Сухое трение
- •Вязкое трение
- •Упругие силы. Закон Гука
- •Пример применения законов Ньютона
- •Лекция 4 «Преобразования Галилея. Динамика системы материальных точек»
- •Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике
- •Динамика системы материальных точек
- •Закон сохранения импульса
- •Теория о движении центра масс
- •Движение тел переменной массы. Реактивное движение
- •Лекция 5 «Динамика материальной точки»
- •Движение в неинерциальных системах отсчёта
- •Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта
- •Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта
- •Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.
- •Лекция 6 «Работа и энергия»
- •Работа и кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Лекция 7 «Работа и энергия»
- •Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
- •Работа неконсервативных сил
- •Силы и потенциальная энергия
- •Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
- •Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
- •Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
- •Закон сохранения момента импульса
- •Лекция 9 «Механика твердого тела»
- •Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
- •Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
- •Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
- •Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
- •Энергия движущегося тела
- •Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Скатывание тел с наклонной плоскости
- •Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
- •Давление жидкости. Законы гидростатики
- •Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
- •Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
- •Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики
- •Истечение жидкости из сосуда
- •Манометрический расходомер
- •Лекция 12 «Механические колебания»
- •Периодические процессы. Гармонические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Пружинный осциллятор
- •Математический маятник
- •Собственные колебания физического маятника
- •Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
- •Лекция 13 «Механические колебания»
- •Энергия гармонического осциллятора
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
- •Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •Основное уравнение релятивистской динамики
- •Закон эквивалентности массы и энергии
- •Рекомендуемая литература:
- •Содержание
Собственные колебания физического маятника
Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стержень длиной l (рис. 12.7).
Рис. 12.7
Ось колебания проходит через точку О, отстоящую на расстоянии d от центра масс стержня — точки С. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:
. (12.12)
Здесь — момент внешних сил, вращающих тело относительно горизонтальной оси x. Такая сила в системе одна — сила тяжести. Её момент равен произведению величины силы на «плечо» — на расстояние от оси вращения до линии действия силы — b:
,
где — угол, который образует стержень с вертикалью.
Вычисляя момент инерции стержня Ix, воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера:
.
— момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку центра масс.
Учитывая, что угловое ускорение . Запишем уравнение колебаний физического маятника в следующем виде:
.
В случае малых углов отклонения, когда Sin , это уравнение можно упростить:
. (12.13)
Уравнение (12.13) — дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в стандартном виде. Известно, что решением подобного уравнения является гармоническая функция:
, (12.14)
где частота собственных незатухающих колебаний:
. (12.15)
Период собственных колебаний физического маятника
. (12.16)
Сравнивая (12.16) с периодом колебаний математического маятника , легко установить, что их периоды будут совпадать, если длина математического маятника окажется равной , l0 — называется приведенной длиной физического маятника, она равна длине такого математического маятника, период которого совпадает с периодом данного физического маятника.
Для вычисления частоты и периода собственных незатухающих колебаний, например, тонкого стержня, нужно в соответствующих формулах [(12.15), (12.16)] использовать момент инерции стержня .
Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
Гармоническое колебание x = a Cos (t + ) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направление x вектора , вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания — . Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления.
x = x1 + x2 = a1Cos (t + 1) + a2 Cos (t + 2).
Построим вектор (под углом 1 к оси x), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор , образующий угол 2 с осью x (рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на ось x равна проекции на эту ось вектора , равного сумме и .
= +
x = x1 + x2.
Рис. 12.8
Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через начало координат — точку О. При этом равенство x = x1 + x2 сохранится неизменным во времени, хотя сами проекции x, x1 и x2 будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотой и с начальными фазами , 1 и 2 — соответственно. В результате сложения двух колебаний:
x1 = a1 Cos (t + 1) и x2= a2 Cos (t + 2) возникает новое колебание x = x1 + x2 =
= a Cos (t + ), частота которого — – совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора , а начальная фаза , как следует из рис. 12.8, равна:
.
Для подсчета амплитуды «а» суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов:
.
Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а1 и а2, но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой, а = amax = a1 + a2 возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают: 1 = 2.
Если разность фаз (2 – 1) = , то амплитуда суммарного колебания будет минимальной a = amin = |a1 – a2|. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a1 = a2), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю.
Этим методом векторных диаграмм нам предстоит в будущем часто пользоваться при сложении не только колебаний, но и волн.