2. Энергия движущегося тела

   1. Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

В твёрдом теле, вращающемся с угловой скоростью  относительно неподвижной оси z, выделим элемент массой m_i. Эта частица будет двигаться по окружности радиуса r_i с линейной скоростью V_i = r_i (рис. 10.3).

Рис. 10.3

Кинетическая энергия этой частицы равна:

.

Кинетическую энергию тела можно получить, сложив энергии всех его частиц:

.

Здесь = I_z — момент инерции тела относительно оси z, поэтому выражение кинетической энергии вращающегося тела окончательно представим так:

. (10.6)

Этот результат напоминает формулу кинетической энергии поступательно движущегося тела:

. (10.7)

Различие только в том, что в одном случае при расчёте энергии используется масса тела и линейная скорость, в другом — момент инерции и угловая скорость вращения.

2. Кинетическая энергия тела при плоском движении

Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного.

Представим плоское движение тела суммой поступательного со скоростью , равной скорости центра масс, и вращения с угловой скоростью вокруг оси, проведённой через центр масс тела — точку С.

Скорость i-той частицы тела (m_i) будет равна векторной сумме её скоростей в этих двух движениях:

.

Здесь — радиус-вектор частицы, определяющий её положение относительно точки центра масс — С (рис. 10.4).

Рис. 10.4

Вычислим кинетическую энергию i-той частицы:

.

Заметим (см. рис. 10.4), что модуль векторного произведения равен:

,

где R_i — радиус круговой траектории частицы m_i, или, что то же самое, — её расстояние от оси вращения.

Теперь раскроем скобки, попутно сделав циклическую перестановку сомножителей во втором слагаемом:

.

Кинетическая энергия тела равна сумме энергий всех её частиц, поэтому:

.

Анализируя этот результат, приходим к следующим выводам:

Сумма = М равна массе тела.

Сумма равна произведению массы тела на радиус-вектор точки центра масс . Но так как в этой задаче все радиус-векторы откладываются от точки центра масс, то = 0, и = = 0.

Сумма = I_C представляет собой момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс (точку С).

Таким образом, кинетическая энергия тела равна:

. (10.8)

Представив движение суммой поступательного и вращательного движений, мы пришли к выводу, что кинетическая энергия плоского движения равна сумме энергий поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс V_С и вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела:

.

3. Скатывание тел с наклонной плоскости

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости — , а высота Н (Н » R). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания — Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения покоя (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью V_C, с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью .

. (10.9)

Рис. 10.5

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

, то есть .

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

. (10.10)

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

M_C = I_C  . (10.11)

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y, получим два скалярных уравнения:

x: mgSin – F_тр = ma_C; (10.12)

y: N – mgсos = 0. (10.13)

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

.

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

. (10.14)

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

; (10.15)

. (10.16)

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона  должна возрастать и сила трения покоя F_тр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

. (10.17)

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:

⅓mgSin ≤ mgCos.

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол  не превзойдёт значения _пред:

_пред = arctg3.

Здесь  — коэффициент трения цилиндра по плоскости.

Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:

.

Здесь: l = — длина плоскости;

a = , (см.10.16).

Значит, время скатывания:

. (10.18)

Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:

. (10.19)

Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.

В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент — на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:

.

Вспомним, что и . Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:

.

Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:

,

которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).