1. Элементы векторной алгебры.

2. Кинематические характеристики криволинейного движения.

   1. Скорость движения.

   2. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории.

3. Движение материальной точки по окружности.

1. Элементы векторной алгебры

Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление.

1. Сложение (вычитание) векторов

(2.1)

Сложение векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Правило вычитания векторов поясняется на рис. 2.2

(2.2)

Рис. 2.2

2. Задание вектора (рис. 2.3)

Рис. 2.3

(2.3)

Здесь A_x, A_y, A_z — проекции вектора на оси координат.

Модуль вектора равен

(2.4)

3. Произведение вектора на скаляр

При умножении вектора на число n, его модуль величится в n раз. Направление вектора сохраняется прежним (n  0), либо изменяется на противоположное (n  0) (рис. 2.4)

Рис. 2.4

4. Скалярное произведение двух векторов.

По определению скалярным произведением векторов и является число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на конус угла между ними (рис. 2.5)

(2.5)

Рис. 2.5

5. Векторное произведение

Результатом векторного произведения векторов и является вектор , нормальный к плоскости, содержащей перемножаемые векторы.

Модуль вектора равен

. (2.6)

где:  —угол между векторами и (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Направление вектора = [ × ] связано с направлениями перемножаемых векторов правилом правого винта.

Из определения векторного произведения следует, что модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Векторное произведение некоммутативно:

[  ] = – [  ],

то есть зависит от порядка сомножителей.

6. Производная вектора

Пусть вектор меняется по известному закону со временем.

.

Производная такого вектора по аргументу t вычисляется как производная сложной функции

где: , и — единичные векторы направлений x, y, z.

2. Кинематические характеристики криволинейного движения

   1. Скорость движения

Зададим криволинейное движение частицы М зависимостью её радиус-вектора от времени (рис. 2.7):

. (2.7)

Рис. 2.7

Пусть и — радиус-векторы частицы в моменты времени t и (t + t) (рис. 2.8). Разность этих векторов называется вектором перемещения частицы.

M

Рис. 2.8

По определению, вектором средней скорости движения в интервале времени от t до t + t называется отношение вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло:

. (2.8)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения .

Если уменьшать интервал времени, устремляя его к нулю, то вектор средней скорости стремится к значению, которое называется мгновенная скорость:

(2.9)

Учитывая (2.7) запишем вектор мгновенной скорости в виде векторной суммы её составляющих по координатам x, y, z:

(2.10)

где: V_x, V_y, V_z — проекции вектора скорости на оси x, y, z (рис. 2.9)

Рис. 2.9

Модуль вектора скорости

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории (рис. 2.10)

Рис. 2.10