2. Манометрический расходомер

Вычислим секундный расход жидкости, протекающей по горизонтальной трубе. Для этого вмонтируем в трубопровод расходомер в виде локального сужения трубы (рис. 11.8).

Рис. 11.8

Для сечений S₁ и S₂ запишем уравнение Бернулли (11.8), учитывая, что для горизонтального участка h₁ = h₂.

. (11.10)

Решим это уравнение совместно с уравнением неразрывности потока V₁S₁ = V₂S₂ относительно скорости жидкости V₁:

. (11.11)

Теперь можно вычислить секундный расход жидкости:

. (11.12)

Для измерения разности давлений (Р₁ – Р₂) воспользуемся манометрами в виде двух вертикальных трубок, врезанных в трубопровод и в его сужение. Протекающая по трубопроводу жидкость поднимется в манометрических трубках на высоту Н₁ и Н₂ соответственно. Покажем, что эти высоты подъёма жидкости пропорциональны её давлению в сечениях S₁ и S₂.

Рис. 11.9

Рассмотрим равновесие столба жидкости Н₁ в манометрической трубке (рис. 11.9). На верхнее сечение этого столба действует сила атмосферного давления F₁ = P₀S. В нижнем сечении — давление, равное давлению в потоке, создаёт поддерживающее усилие F₂ = PS. Кроме того, в вертикальном направлении на выделенный столб жидкости действует сила тяжести Р_тяж = _жV = _жSH₁. Сумма этих сил равна нулю:

PS – P₀S – _жgH₁S = 0,

или

.

В сужении скорость жидкости будет выше (см. уравнение неразрывности V₁S₁ = V₂S₂), а давление Р₂ соответственно ниже (см. уравнение Бернулли + Р₁ =  + Р₂).

Высота столба жидкости в трубке будет, очевидно, равна:

.

Теперь легко показать, что разность этих уравнений пропорциональна перепаду давлений в сечениях S₁ и S₂:

.

или

P₁ – P₂ = _жg(H₁ – H₂). (11.13)

Используем этот результат для вычисления секундного расхода жидкости (см. (11.12)):

.

Размерность этого выражения:

,

что соответствует секундному расходу, то есть количеству жидкости (кг), протекающему в единицу времени через любое сечение трубопровода.

Таким образом, для вычисления секундного расхода достаточно знать площади сечения трубопровода — S₁ и расходомера — S₂ и измерить разность уровней жидкости в манометрических трубках (Н₁ – Н₂).

Лекция 12 «Механические колебания»

План лекции

1. Периодические процессы. Гармонические колебания.

2. Собственные незатухающие колебания.

2.1. Пружинный осциллятор.

2.2. Математический маятник.

2.3. Собственные колебания физического маятника.

3. Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм.

1. Периодические процессы. Гармонические колебания

Периодическими называются процессы, в точности повторяющиеся через равные промежутки времени: смена дня и ночи, движение поршня в цилиндре двигателя, колебание маятника часов, переменный ток и т.д. (рис. 12.1). Минимальное время, спустя которое процесс повторяется вновь — Т, называется периодом. Математически периодичность функции f(t) записывается так f(t) = f(t + T).

Рис. 12.1

Особое место среди периодических процессов занимают гармонические колебания, когда изменение колеблющейся величины происходит по закону синуса или косинуса (рис. 12.2):

x(t) = a Cos(t + ). (12.1)

Рис. 12.2

Эту гармоническую функцию удобно графически представить следующим образом. Отложим из точки 0 на оси x вектор (рис. 12.3). Пусть этот вектор первоначально образует с осью x угол . Теперь приведем этот вектор во вращение с угловой скоростью  вокруг оси, проходящей через точку 0 перпендикулярно плоскости рисунка. Спустя t секунд угол между вектором и осью x вырастет до значения

Ф(t) = (t + ). Проекция вектора a на ось x окажется при этом функцией времени x(t) = aCos(t+) и будет совершать гармонические колебания с частотой .

В этом уравнении: а — амплитуда;  [рад/с] — циклическая частота гармонического колебания; (t + ) = Ф(t) — фаза колебания. Фаза меняется во времени.

 — значение фазы в момент запуска часов (t = 0), то есть — начальная фаза.

П роцесс повторится вновь спустя Т секунд. За это время фаза должна увеличиться на 2 радиан.

[(t + T) + ] = (t + ) + 2;

t + T +  = t +  + 2;



Рис. 12.3

T = 2;

T = . (12.2)

Это важная связь периода с циклической (круговой) частотой колебания.

Число колебаний в единицу времени называется просто частотой — . Частота  измеряется в герцах [1 Гц = 1 = 1 с^–1] и является величиной, обратной периоду  = .

Любая система, в которой возможно гармоническое колебание, называется гармоническим осциллятором. Рассмотрим несколько примеров механических гармонических осцилляторов.