2. Ускорение

В общем случае прямолинейного движения скорость материальной точки может меняться во времени: V = V(t).

Пусть в момент времени t₁ скорость была V₁, а в момент t₂ – V₂ (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Отношение изменения скорости материальной точки V = V₂ — V₁ ко времени t = t₂ — t₁, за которое оно произошло, называется средним ускорением частицы в интервале времени от t₁ до t₂ = t₁ + t.

. (1.6)

В пределе при t  0 среднее ускорение стремится к значению, которое называется мгновенным ускорением:

. (1.7)

Мгновенное ускорение частицы равно первой производной её скорости V(t) по времени.

Так как скорость является первой производной координаты по времени , то ускорение можно назвать второй производной координаты по времени:

. (1.8)

Ускорение в системе СИ измеряют в .

4. Примеры прямолинейного движения

Рассмотрим два классических примера прямолинейного движения материальной точки.

1. Равномерное движение

Равномерным называется движение частицы, если её координата является линейной функцией времени

x(t) = A + B t. (1.9)

Здесь А и В — постоянные величины.

Пусть в момент начала отчета времени t = 0 , частица проходит на оси x точку М₀, координата которой x(0) = x₀ (рис. 1.6)

Рис. 1.6

Как следует из кинематического уравнения движения (1.9), при t = 0

х(0) = х₀ = А. (1.10)

Таким образом А — координата той точки на оси х, которую частица проходит в момент запуска часов.

Скорость рассматриваемого движения

. (1.11)

Коэффициент В в уравнении движения (1.9) — его неизменная скорость.

Следовательно, равномерное движение происходит с постоянной скоростью.

Воспользовавшись полученными результатами (1.10) и (1.11), запишем кинематическое уравнение равномерного движения (1.9) в стандартном виде

x(t) = x₀ + V₀ t. (1.12)

Ускорение такого движения , так как V = V₀ = сonst (1.11).

Графики равномерного движения приведены на рис. 1.7.

Рис. 1.7

2. Равнопеременное движение

Равнопеременным называется движение материальной точки, если её координата является квадратичной функцией времени

х = А +В t + С t². (1.13)

Раскроем физическое содержание констант А, В и С.

Пусть в момент времени t = 0, координата точки равна х₀ (рис. 1.8).

Как следует из уравнения (1.13) при t = 0

x(0) = x₀ = А, (1.14)

то есть постоянная А равна координате движущейся точки в начальный момент наблюдения.

Рис. 1.8

Скорость частицы

. (1.15)

В начальный момент (t = 0) скорость

V(0) = V₀ = В. (1.16)

Постоянная В равна скорости движения V₀ в момент запуска часов.

Ускорение движения

Отсюда следует, что постоянная С равна половине неизменного ускорения движения частицы

. (1.17)

Равномерным можно назвать движение с постоянным ускорением

a = a₀ = 2C = const.

Кинематические уравнения этого движения обычно представляют в виде

, (1.18)

V = B + 2Ct = V₀ + a₀t. (1.19)

Здесь мы воспользовались нашими результатами (1.14), (1.16), (1.17).

Г рафики зависимости от времени ускорения, скорости и координаты частицы, движущейся равноускоренно, представлены на рис.1.9.

Рис. 1.9

Лекция 2 «Кинематика материальной точки»

План лекции